Математическое программирование в экономике
Математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.
Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи — это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:
1) совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
2) целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант - из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;
Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.
Математическое программирование в экономике: линейное и нелинейное программирование, стохастическое программирование, целочисленное программирование, динамическое прогаммирование.
Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения экстремальных задач линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений.
Экстремальные задачи – это задачи на отыскание крайних значений функции. Эти оба понятия (max и min) объединяют единым термином extremum. Почти тот же смысл вкладывается в название “задачи оптимизации”.
Для решения конкретной экономической задачи методами программирования нужно, словами заменить экономическую задачу математической моделью.
Математическая формулировка задачи распадается на 2 этапа:
1.Сначала представляется в виде некоторой зависимости от искомых величин, преследуя цель. (Допустим доход от реализации продукции). Полученное математическое выражение называется целевой функцией, функцией цели или функционалом данной задачи.
2.Затем формулируются условия, которые должны быть наложены на искомые величины.
Эти условия вытекают из наличия ресурсов, из необходимости удовлетворения определённых потребностей, из условий технологии и т. д. Обычно эти условия выражаются в виде неравенств и уравнений.
В совокупности они образуют систему ограничений.
Совокупность математически сформулированных условий, налагаемых на неизвестные, называется системой ограничений данной задачи. Совокупность численных значений неизвестных называется планом задачи. Любой план, удовлетворяющий системе ограничений, называют допустимым.
Допустимый план, максимизирующий или минимизирующий целевую функцию называется оптимальным планом.
Таким образом, решение задачи заключается в отыскании оптимального плана среди множества допустимых.
Если целевая функция и система ограничений линейны (первой степени) относительно входящих в систему неизвестных, то программирование считается линейным. Если же целевая функция или система ограничений содержат нелинейные выражения, программирование будет нелинейным.
Из задач нелинейного программирования более исследованы задачи выпуклого программирования. Оно объединяет задачи на минимум выпуклой или максимум вогнутой функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.
Среди задач выпуклого программирования выделяются задачи квадратического программирования, суть которого в отыскании экстремального значения квадратической функции при линейных ограничениях. В отдельные классы задач выделяют задачи целочисленного, параметрического и дробно – линейного программирования. В целочисленных задачах неизвестными могут быть только целые числа.
В параметрических задачах коэффициенты целевой функции или числовые характеристики ограничений (или те и другие) предполагаются не постоянными величинами, с функциями, зависящими от некоторых параметров.
В задачах дробно – линейного программирования ограничения линейны, а целевая функция представляет собой отношение двух линейных функций.
Если коэффициенты или константы в задаче представлены случайными величинами, такие задачи относят к стохастическому программированию. Задачи, процесс решения которых является многоэтапным, относят к задачам динамического программирования.
Математическое программирование объединяет задачи всех типов.