Элементы финансовой математики
Любая финансовая, кредитная или коммерческая операция предполагает совокупность условий, согласованных ее участниками. К таким условиям относятся: сумма кредита, займа или инвестиций, цена товара, сроки, способы начисления процентов и погашения долга и т. д. Совместное влияние на финансовую операцию многих факторов делает конечный ее результат неочевидным; для его оценивания необходим специальный количественный анализ. Совокупность методов этого анализа и составляет предмет финансовой математики.
В данной главе рассматриваются финансовые вычисления, необходимые для анализа сделок, включающих три основных элемента — размер платежа, срок и ставку процентов.
Именно они составляют основу количественного финансового анализа, целью которого является решение широкого круга задач: от элементарного начисления процентов до анализа сложных кредитных и коммерческих операций. К этому кругу задач можно отнести:
· расчет конечных финансовых результатов операции для каждой из участвующих в ней сторон;
• сравнение эффективности различных операций или вариантов;
• выявление зависимости конечных результатов от основных параметров операции, сделки, контракта;
• разработка планов выполнения финансовых операций;
• расчет параметров эквивалентного изменения условий контракта.
Здесь рассматриваются основные понятия, которыми оперируют в финансовых вычислениях: процент, ставка процента, учетная ставка, современная (текущая) стоимость платежа, методы наращения и дисконтирования платежей, принципы, лежащие в основе финансовых вычислений, современная практика расчетов.
В главу вошли также основы количественного анализа последовательности (потоков) платежей, в частности, финансовых рент (аннуитетов). Потоки денежных платежей часто встречаются в практике. Например, регулярные взносы для формирования какого-либо фонда (инвестиционного, страхового, пенсионного, для погашения долга), периодическая уплата процентов, доходы по облигациям или ценным бумагам, выплата пенсий, поступление доходов от коммерческой деятельности, налоговые платежи, а также методы расчета, разработанные для анализа различных видов финансовых рент (в том числе с переменными размерами платежей).
Изложенные методы и приемы могут быть применены в расчетах любых финансовых операций: в анализе инвестиционных проектов, расчете кредитных и коммерческих операций, при анализе эффективности предпринимательской деятельности, работе с ценными бумагами, в страховом деле.
15.1. Простые проценты
В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах и договорах фиксируются соответствующие сроки, даты и периодичность поступлений денежных средств, а также их выплат.
Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость его учета определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн руб., полученный через год, не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня: неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы, и т. д. Поэтому сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.
Очевидным следствием принципа неравноценности денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет значения, — например, в бухгалтерском учете для получения итогов по периодам и в финансовом контроле.
В финансовых вычислениях фактор времени учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов.
15.1.1. Процентные ставки, формулы наращения
Под процентными деньгами или процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: выдача денежной ссуды, продажа в кредит, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций, депозит и т. д.
При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик, вкладчик и банк) договариваются о размере процентной ставки — отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, а также в виде десятичной или натуральной дроби.
Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т. е. в отдельные моменты времени, причем в качестве периодов начисления принимают год, полугодие, квартал, месяц. Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев удобно применять непрерывные проценты.
Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением, или капитализацией. В количественном финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле — как измеритель степени доходности финансовой операции.
В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной суммы для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором — сложными процентными ставками.
Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть постоянными или переменными («плавающими»). В этом случае значение ставки равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней, которую называют маржой. Размер маржи определяется рядом условий, например сроком операции, и обычно он находится в пределах 0,5—5 %. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи.
Рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы процентов и размера дисконта — современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведен в будущем.
15.4. Потоки платежей
Часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется фонд определенного назначения (инвестиционный, пен сионный, страховой, резервный, накопительный и т. д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и др.
Определение 1. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления — положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.
Определение 2. Наращенной суммой потока платежей называется сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей и порождающей его причиной. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.
15.4.1. Финансовые ренты
Определение 3. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа; период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами; срок ренты — время от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту; число платежей в году; число начислений процентов в году; моменты платежа внутри периода ренты.
Виды финансовых рент
Классификация рент может быть произведена по различным признакам.
В зависимости от продолжительности периода ренты делят на годовые и р-срочные, где р — число выплат в году.
По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, т раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.
По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.
По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
По числу членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные, и бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные, или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных сдвигается на определенное время.
Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными, или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются препумерапдо, или авансированными. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.
Простой процент
Для записи формулы наращения простых процентов введем обозначения:
I – проценты за весь срок ссуды (процентный платеж), P – первоначальная сумма долга, S – наращенная сумма, или сумма в конце срока, i – годовая ставка процентов (ставка наращения в виде десятичной дроби), ix – ставка процентов в процентах, n – срок ссуды, лет.Начисленные проценты за каждый год равны Pi.
Проценты, начисленные за весь срок составят I=Pni
Наращенная сумма находится как S=P+I=P+Pni=P(1+ni).
Формулу S=P(1+ni) (1)
называют формулой наращения по простым процентам или кратко — формулой простых процентов.
Множитель (1+ni) называют множителем наращения простых процентов.
Сложный процент
Формула наращения примет вид: S=P (1+j/m)N, где m – число периодов начисления в году, j – номинальная годовая ставка, N – общее количество периодов начисления (N=mn)
Для случаев, когда n не является целым числом, множитель наращения определяется двумя способами:
на основе общего метода:
(1+i) n=(1+i) na (1+i) nb
или на основе смешанного метода:
(1+i) na (1+nbi),
т. е. за целое количество периодов начисления – по сложной ставке, за дробную часть – по простой процентной ставке.
Где n=na+nb
na- целое число периодов,
nb- дробная часть периода.
При выборе метода расчета множителя наращения следует иметь в виду, что величина множителя наращения по второму способу больше, чем по первому:
(1+i) na (1+nbi)>(1+i) n
В практике некоторых финансовых организаций предусматривается начисление процентов только за целые периоды начисления.